一、Bezout定理内容以及它的应用,请高手帮帮忙!

贝祖等式,依艾蒂·贝祖命名,是线性丢番图方程.它说明若有整数a、b和其最大公因子d,必存在整数x、y使得：ax + by = d x、y称为贝祖数,可用扩展版辗转相除法求得,但结果不是唯一的.例如12和42的最大公因子是6,便可以写...

二、贝祖数是什么？

裴蜀定理（或贝祖定理）得名于法国数学家艾蒂安·裴蜀，说明了对任何整数a、b和它们的最大公约数d，关于未知数x和y的线性不定方程（称为裴蜀等式）：若a,b是整数,且gcd(a,b)=d，那么对于任意的整数x,y,ax+by都一定是d的倍数，特别地，一定存在整数x,y，使ax+by=d成立

在数论中，裴蜀定理是一个关于最大公约数（或最大公约式）的定理，裴蜀定理得名于法国数学家艾蒂安·裴蜀。

裴蜀定理说明了对任何整数a、b和它们的最大公约数d，关于未知数x以及y的线性的丢番图方程（称为裴蜀等式）。

贝祖数的历史：

历史上首先证明关于整数的裴蜀定理的并不是裴蜀，而是17世纪初的法国数学家克劳德-加斯帕·巴歇·德·梅齐里亚克。他在于1624年发表的著作《有关整数的令人快乐与惬意的问题集》第二版中给出了问题的描述和证明。

然而，裴蜀推广了梅齐里亚克的结论，特别是探讨了多项式中的裴蜀等式，并给出了相应的定理和证明。

三、贝祖数是谁破解的

是17世纪初的法国数学家克劳德-加斯帕·巴歇·德·梅齐里亚克。他在于1624年发表的著作《有关整数的令人快乐与惬意的问题集》。

四、贝祖定理的定义

定义整数a,b的一个线性组合是指形如的整数，其中x,y是整数。那么贝祖定理是说对整数a,b（如果我们定义时，），是a,b的一个线性组合（其中是a,b的最大公因数，简记为）。

五、贝祖等式的证明,具体的

注意：百度中无法显示数学中的脚标！ a0,a1,...，a（n-1）,a（n） 是数列，r1.r2,...,r（n-1）,r（n）也是数列。 r（n-1） 即数列的第(n-1)项 别弄错了。 得给百度提提意见了！

贝祖等式，依艾蒂·贝祖命名，是线性丢番图方程。

它说明若有整数a、b和其最大公因子d，必存在整数x、y使得：

ax + by = d

x、y称为贝祖数，可用扩展版辗转相除法求得，但结果不是唯一的。

例如12和42的最大公因子是6，便可以写(-3)×12 + 1×42 = 6及4×12 + (-1)×42 = 6。

d其实就是最小可以写成ax + by形式的正整数。

辗转相除法是用来求最大公约数的．我们用代数的形式来表达(实质上，算术形式也是可以完全讲得清楚的)．给出两个正整数a和b，用b除a得商a0，余数r，写成式子

a=a0b+r，0≤r＜b． (1)

这是最基本的式子，辗转相除法的灵魂．如果r等于0，那么b可以除尽a，而a、b的最大公约数就是b．

如果r≠0，再用r除b，得商a1，余数r1，即

b=a1r+r1，0≤r1＜r． (2)

如果r1=0，那么r除尽b，由(1)也除尽a，所以r是a、b的公约数．反之，任何一龀��、b的数，由(1)，也除尽r，因此r是a、b的最大公约数．

如果r1≠0，则用r1除r得商a2，余数r2，即

r=a2r1+r2，0≤r2＜r1． (3)

如果r2=0，那么由(2)可知r1是b、r的公约数，由(1)，r1也是a、b的公约数．反之，如果一数除得尽a、b，那末由(1)，它一定也除得尽b、r，由(2)，它一定除得尽r、r1，所以r1是a、b的最大公约数．

如果r2≠0，再用r2除r1，如法进行．由于b＞r＞r1＞r2＞…逐步小下来，而又都是正整数，因此经过有限步骤后一定可以找到a、b的最大公约数d(它可能是1)．这就是有名的辗转相除法，在外国称为欧几里得算法．这个方法不但给出了求最大公约数的方法，而且帮助我们找出x、y，使

ax+by=d． (4)

在说明一般道理之前，先看下面的例子．

从求42897与18644的最大公约数出发：

42897=2×18644+5609， (i)

18644=3×5609+1817， (ii)

5609=3×1817+158， (iii)

1817=11×158+79， (iv)

158=2×79．

这样求出最大公约数是79．我们现在来寻求x、y，使

42897x+18644y=79．

由(iv)可知 1817-11×158=79．

把(iii)式的158表达式代入此式，得

79=1817-11(5609-3×1817)

=34×1817-11×5609．

再以(ii)式的1817表达式代入，得

79=34×(18644-3×5609)-11×5609

=34×18644-113×5609．

再以(i)式的5609表达式代入，得

79=34×18644-113×(42897-2×18644)

=260×18644-113×42897．

也就是x=-113，y=260．

这虽然是特例，也说明了一般的理论．一般的理论是：把辗转相除法写成为

a=a0b+r，

b=a1r+r1，

r=a2r1+r2，

r1=a3r2+r3，

………

r（n-1）=a（n+1）r（n）+ r（n+1），

r（n）=a（n+2）r（n+1）．

这样得出最大公约数d=r（n+1）．由倒数第二式，r（n+1）可以表为r（n-1）、r（n）的一次式，再倒回一个可以表为r（n-2）、r（n-1）的一次式，…，最后表为a、b的一次式．

即把d放在等式的一边，另一边不断代入上一个等式，最后可找出一组（x、y）值，使 ax+by=d． 成立。

由此，贝式等式得证。

（结合上面的具体例子，自己代入再推导一下，就好理解了）