一、二次型的定义是什么？
正负惯性指数之和等于矩阵的秩用矩阵形式表示二次型的方法：
二次型f(x,y,z)=ax²+by²+cz²+dxy+exz+fyz，用矩阵表示的时候，矩阵的元素与二次型系数的对应关系为：A11=a，A22=b，A33=c，A12=A21=d/2，A13=A31=e/2，A23=A32=f/2
二次型的定义：
设f(x_1,x_2,...x_n)=∑a_ij * x_i*x_j 这里是系数， 满足aij=aji，则称f为n元二次型。
在实数域中，根据惯性定理，每个对称矩阵都合同于一个对角线上元素只由0和正负数构成的对角矩阵。如果设正数的个数是p，负数的个数是q，那么给定(p,q)后，就确定了一个关于合同关系的等价类。
数对(p,q)称为一个对称矩阵(或相应二次型)的惯性指数，其中正数的个数p称为正惯性指数， 负数的个数q称为负惯性指数， p-q叫做符号差。据此可以得出:合同关系将所有的对称矩阵分为 (n+2)*(n+1)/2个等价类。
二、求二次型f=xT x的秩，怎么求
求二次型的秩，其实就是求其对应矩阵的秩，先写出矩阵（主对角线元素为二次型平方项，其余为交叉项）按照书上的化行阶梯型的办法就能求秩了。
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三、二次型的秩是什么？
就是二次型对应矩阵的秩。等于二次型非0特征根的个数。
一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。
如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量，秩就是这些行向量或者列向量的秩，也就是极大无关组中所含向量的个数。
当r(A)<=n-2时，最高阶非零子式的阶数<=n-2，任何n-1阶子式均为零，而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号，所以伴随阵为0矩阵。
当r(A)<=n-1时，最高阶非零子式的阶数<=n-1，所以n-1阶子式有可能不为零，所以伴随阵有可能非零（等号成立时伴随阵必为非零）。
扩展资料：
n个变量的二次多项式称为二次型，即在一个多项式中，未知数的个数为任意多个，但每一项的次数都为2的多项式。线性代数的重要内容之一，它起源于几何学中二次曲线方程和二次曲面方程化为标准形问题的研究。
柯西在别人著作的基础上，着手研究化简变数的二次型问题，并证明了特征方程在直角坐标系的任何变换下不变性。后来，他又证明了n个变数的两个二次型能用同一个线性变换同时化成平方和。
双线性形式B的核由正交于V的所有元素组成，而二次形式Q的核由B的核中的有Q(u)=0的所有元素u组成。 如果2是可逆的，则Q和它的相伴双线性形式B有同样的核。
双线性形式B被称为非奇异的，如果它的核是0；二次形式Q被称为非奇异的，如果它的核是0。
参考资料来源；百度百科——矩阵的秩
四、请教各位一个关于二次型求秩的方法问题
B =
1 0 1
0 1 -1
1 0 1
这是一个退化矩阵, 不能确定f的秩等于 B 的秩
五、二次型的秩为什么等于矩阵的秩
因为任给一个实二次型,可以唯一确定一个实对称矩阵;反之,任给一个实对称矩阵,也可以唯一确定一个实二次型,它们之间是一一对应关系,因此,我们把实对称矩阵A的秩,称为二次型的秩。 因此,二次型的秩和对应矩阵的秩相同
